CAPÍTULO 3 Números-Índices

O conteúdo deste tópico foi elaborado com base no capítulo 16 de Hoffmann (2006) e no capítulo 11 de Sartoris (2013).

3.1 Introdução

Os números-índices, ou simplesmente índices, são proporções estatísticas, geralmente expressas em porcentagem, idealizadas para comparar as situações de um conjunto de variáveis em épocas ou localidades diversas.

Para quem vai fazer uso do números-índices na análise de um problema, é importante saber como são obtidos. Mesmo que não seja necessário calcular um novo índice, é interessante conhecer os métodos de cálculo, pois isso permite interpretar melhor os índices publicados e avaliar suas limitações.

3.2 Preços Relativos

O número-índice preços relativos é a relação entre o preço de um produto em determinado período (ano ou mês, geralmente) e o preço no período escolhido como base. Esse índice se destina a acompanhar a evolução do preço de determinado produto. O preço relativo pode ser denominado também de índice relativo de preço ou número-índice simples de preço.

Se $P_0$ é o preço da mercadoria no período-base e $P_t$ é o preço em um período $t$, o preço relativo da mercadoria no ano $t$ é dado por

\[\begin{equation} I(P_t| P_0) = \frac{P_t}{P_0}. \tag{3.1} \end{equation}\]

Usualmente, o valor do índice é dado em porcentagem, calculando-se

\[\begin{equation} I^*(P_t| P_0) = \frac{P_t}{P_0}\cdot 100. \tag{3.2} \end{equation}\]

Exemplo numérico de índice relativo

Seja os dados da tabela 3.1 abaixo

TABELA 3.1: dados hipotético de preços e quantidades para três produtos no período de 2001 a 2005
ano	$P_{1t}$	$Q_{1t}$	$P_{2t}$	$Q_{2t}$	$P_{3t}$	$Q_{3t}$
2001	12	3	5	7	20	3
2002	15	4	10	9	25	4
2003	18	5	20	8	35	5
2004	24	5	30	7	45	6
2005	30	6	60	6	50	5

Fonte: Hoffmann (2006).

Tomando com base o ano 2002, o preço relativo do produto 1 em 2004, de acordo com (3.2) é

\[\begin{equation} I*(P_t| P_0) = \frac{24}{15}\cdot 100 = 160. \end{equation}\]

Com base na tabela 3.1, os demais preços relativos podem ser calculados, tomando como base o ano de 2002, que são apresentados na tabela 3.2.

TABELA 3.2: Preços relativos dos três produtos no período de 2001 a 2005, tomando como base o ano de 2002
ano	Produto 1	Produto 2	Produto 3
2001	80	50	80
2002	100	100	100
2003	120	200	140
2004	160	300	180
2005	200	600	200

Exemplo numérico de preço relativo no R

Carrega-se os preços dos três produtos e calcula os respectivos preços relativos tendo como base o ano de 2002.

prd1 <- c(12, 15, 18, 24, 30)
prd2 <- c(5, 10, 20, 30, 60)
prd3 <- c(20, 25, 35, 45, 50)

iprprd1 <- prd1/prd1[2] * 100
iprprd2 <- prd2/prd2[2] * 100
iprprd3 <- prd3/prd3[2] * 100

ipr161 <- cbind(iprprd1, iprprd2, iprprd3)
rownames(ipr161) <- c(2001, 2002, 2003, 2004, 2005)

ipr161

##      iprprd1 iprprd2 iprprd3
## 2001      80      50      80
## 2002     100     100     100
## 2003     120     200     140
## 2004     160     300     180
## 2005     200     600     200

Note que na linha da ano 2002, os três preaços relativos em porcentagem são iguais a 100.

O preço relativo mostra como está evoluindo o preço de cada um dos produtos. Mas quando analisa-se um conjunto de mercadorias, interessa-se em obter um único índice que nos mostre como está evoluindo o nível geral dos preços dessas mercadorias.

3.3 Índice Simples de Preços Agregados

O índice Simples de Preços Agregados é a relação entre o somatório dos preços das mercadorias no período $t$ e o somatório dos preços das mercadorias no período escolhido como base. O índice simples de preços agreagados é também chamado de índice agregativo de preços. Defini-se que o índice $i$, variando de 1 a $n$, indique as $n$ diferentes mercadorias do conjunto considerado. Note que $I_A(\mathbf{p_t}|\mathbf{p_0})$ é o valor do índice agregativo para o vetor ou conjunto de preços $\mathbf{p_t} = {P_{it},i=1,\ldots, n}$ quando comparado ao vetor de preços do período-base, $\mathbf{p_0} = {P_{i0},i=1,\ldots, n}$. Ou seja, \[\begin{equation} I_A(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}}, \tag{3.3} \end{equation}\] ou em porcentagem \[\begin{equation} I_A^*(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}} \cdot 100. \tag{3.4} \end{equation}\]

Exemplo numérico do Índice simples de preços agregados

om base nos dados da tabela 3.1, calcula-se o índice simples de preços agregados para os três produtos em 2004, tomando 2002 como ano-base. De acordo com (3.4),

\[\begin{equation} I_A^*(\mathbf{p_4}| \mathbf{p_2}) = \frac{24 + 30 + 45}{15 + 10 +25} \cdot 100 = 198. \end{equation}\]

Analogamente, obtém-se os demais índices que são apresentados na tabela 3.3.

TABELA 3.3: Índice simples de preços agregados dos três produtos no período 2001-2005 tomando como base o ano de 2002
ano	$I_A^*(P_t\|P_0)$
2001	74
2002	100
2003	146
2004	198
2005	280

A seguir é calculado o Índice simples de preços agregados do exemplo numérico no R.

Exemplo numérico do índice simples de preços agregados no R

p1 <- c(12, 15, 18, 24, 30)
p2 <- c(5, 10, 20, 30, 60)
p3 <- c(20, 25, 35, 45, 50)

p161 <- cbind(p1, p2, p3)
rownames(p161) <- c(2001, 2002, 2003, 2004, 2005)

IAp1p2 <- sum(p161[1, ])/sum(p161[2, ]) * 100
IAp2p2 <- sum(p161[2, ])/sum(p161[2, ]) * 100
IAp3p2 <- sum(p161[3, ])/sum(p161[2, ]) * 100
IAp4p2 <- sum(p161[4, ])/sum(p161[2, ]) * 100
IAp5p2 <- sum(p161[5, ])/sum(p161[2, ]) * 100

ispa161 <- rbind(IAp1p2, IAp2p2, IAp3p2, IAp4p2, IAp5p2)
colnames(ispa161) <- c("ISPA")

ispa161

##        ISPA
## IAp1p2   74
## IAp2p2  100
## IAp3p2  146
## IAp4p2  198
## IAp5p2  280

3.4 Média Aritmética dos Preços Relativos

A Média Aritmétirca dos Preços Relativos é um índice geral de preços que se obtém calculando a média aritmética dos preços relativos, isto é

\[\begin{equation} I_M(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\frac{P_{it}}{P_{i0}} \tag{3.5} \end{equation}\]

ou, em porcentagem,

\[\begin{equation} I_M^*(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\frac{P_{it}}{P_{i0}} \cdot 100. \tag{3.6} \end{equation}\]

Na tabela 3.3 abaixo são apresentados os valores desse índice para os dados da tabela 3.1

TABELA 3.4: Índice média aritmética dos preços relativos dos três produtos no período 2001-2005 tomando como base o ano de 2002
ano	$I_M^*(P_t\|P_0)$
2001	70,0
2002	100,0
2003	153,3
2004	213,3
2005	333,3

Note que os valores da tabela 3.4 é a média aritmética dos preços relativos da tabela 3.1 para cada ano.

Para o ano de 2003, por exemplo, foi calculada da seguinte forma:

\[ I_M^{*}(P_{2003}|P_{2002}) = \dfrac{1}{3}\times \left( 120 + 200 +140 \right) = 153,3 \]
Exemplo numérico da média artimética dos preços realtivos no R

Como temos calculado o preço relativo para cada um dos três produtos com ano base 2002, é só calcular a média aritmética para cada ano.

ipr161

##      iprprd1 iprprd2 iprprd3
## 2001      80      50      80
## 2002     100     100     100
## 2003     120     200     140
## 2004     160     300     180
## 2005     200     600     200

maprp1p2 <- sum(ipr161[1, ])/length(ipr161[1, ])
maprp2p2 <- sum(ipr161[2, ])/length(ipr161[2, ])
maprp3p2 <- sum(ipr161[3, ])/length(ipr161[3, ])
maprp4p2 <- sum(ipr161[4, ])/length(ipr161[4, ])
maprp5p2 <- sum(ipr161[5, ])/length(ipr161[5, ])

mapr161 <- round(rbind(maprp1p2, maprp2p2, maprp3p2, 
    maprp4p2, maprp5p2), 1)
colnames(mapr161) <- c("MAPR")

mapr161

##           MAPR
## maprp1p2  70,0
## maprp2p2 100,0
## maprp3p2 153,3
## maprp4p2 213,3
## maprp5p2 333,3

Considerando que a expressão (3.3) pode ser escrita como em (3.7), pode-se entender por que o índice cresceu mais na média aritmética dos preços relativos na tabela 3.4 que o índice simples de preços agregados na tabela 3.3.

\[\begin{equation} I_A(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{P_{it}}{P_{i0}}\right)P_{i0}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}} \tag{3.7} \end{equation}\]

Tanto o índice simples de preços agregados como a média aritmética dos preços relativos são índices gerais de preços. No seus cálculos não se leva em consideração a importância econômica de cada mercadoria que é dada pelo valor monetário da quantidade vendida.

Portanto, os índices simples de preços agregados bem como a média aritmética do preços relativas só devem ser usados quando não se tem disponível as informações de quantidades.Caso contrário, deve ser utilizados os índices ponderados de preço.

3.5 Índice de Preços de Laspeyres

O índice de preços de Laspeyres para um conjunto de mercadorias, em um período $t$, é a média ponderada dos preços relativos dessas mercadorias, utilizando, como fatores de ponderação, os valores monetários das quantidades de cada mercadoria vendidas no período base.

\[\begin{equation} I_L(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{P_{it}}{P_{i0}}\right)P_{i0}Q_{i0}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}} \tag{3.8} \end{equation}\]

onde

$Q_{i0}$ é a quantidade da $i$-ésima mercadoria vendida no período-base e;
$P_{i0}Q_{i0}$ é o valor monetário da i-ésima mercadoria ao preço do período-base.

Simplificando

\[\begin{equation} I_L(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}Q_{i0}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}Q_{i0}} \tag{3.9} \end{equation}\]

ou, em porcentagem,

\[\begin{equation} I_L^*(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}Q_{i0}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}Q_{i0}}\cdot 100. \tag{3.10} \end{equation}\]

Exemplo numérico de Índice de preços de Laspeyres

Com base na tabela 3.1 e na fórmula (3.10), o índice de preços de Laspeyres para os três produtos, em 2004, tomando 2002 como ano-base é

\[\begin{equation} I_L^*(\mathbf{p_4}| \mathbf{p_2}) = \frac{24\cdot 4 + 30\cdot 9 + 45\cdot 4}{15\cdot 4 + 10\cdot 9 + 25\cdot 4}\cdot 100 = \frac{546}{250}\cdot 100 = 218,4 \end{equation}\]

Os valores do índice de preços de Laspeyres para 2001, 2003 e 2005 podem ser obtidos da mesma maneira e são apresentados na tabela 3.5.

TABELA 3.5: Índice de Laspeyres dos três produtos no período 2001-2005 tomando como base o ano de 2002
ano	$I_L^*(P_t\|P_0)$
2001	69,2
2002	100,0
2003	156,8
2004	218,4
2005	344,0

Exemplo numérico de Índice de preços de Laspeyres no R

q1 <- c(3, 4, 5, 5, 6)
q2 <- c(7, 9, 8, 7, 6)
q3 <- c(3, 4, 5, 6, 5)
q161 <- cbind(q1, q2, q3)
rownames(q161) <- c(2001, 2002, 2003, 2004, 2005)

q161

##      q1 q2 q3
## 2001  3  7  3
## 2002  4  9  4
## 2003  5  8  5
## 2004  5  7  6
## 2005  6  6  5

iplp1p2 <- sum(p161[1, ] * q161[2, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[2, ]) * 100
iplp2p2 <- sum(p161[2, ] * q161[2, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[2, ]) * 100
iplp3p2 <- sum(p161[3, ] * q161[2, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[2, ]) * 100
iplp4p2 <- sum(p161[4, ] * q161[2, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[2, ]) * 100
iplp5p2 <- sum(p161[5, ] * q161[2, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[2, ]) * 100

ipl161 <- rbind(iplp1p2, iplp2p2, iplp3p2, iplp4p2, 
    iplp5p2)
colnames(ipl161) <- c("IPL")

ipl161

##           IPL
## iplp1p2  69,2
## iplp2p2 100,0
## iplp3p2 156,8
## iplp4p2 218,4
## iplp5p2 344,0

Uma interpretação econômica do Índice de preços de Laspeyres

O índice de preços de Laspeyres é uma relação entre o custo de aquisição da cesta de mercadorias $\mathbf{q_0}$ no período $t$ e o custo de aquisição dessa mesma cesta de mercadorias no período-base.

3.6 Índice de Preços de Paasche

O índice de preços de Paasche para o período $t$ pode ser interpretado como uma média ponderada dos preços relativos, utilizando com fatores de ponderação os valores monetários das quantidades vendidas no período $t$, considerando os preços do período-base.

\[\begin{equation} I_P(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{P_{it}}{P_{i0}}\right)P_{i0}Q_{it}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}} \tag{3.11} \end{equation}\]

onde

$Q_{it}$ é a quantidade da $i$-ésima mercadoria vendida no período $t$ e;
$P_{i0}Q_{it}$ é o valor monetário da i-ésima mercadoria no perído $t$ considerando o preço do período-base.

Simplificando \[\begin{equation} I_P(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}Q_{it}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}Q_{it}} \tag{3.12} \end{equation}\]

ou, em porcentagem,

\[\begin{equation} I_P^*(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}Q_{it}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}Q_{it}}\cdot 100. \tag{3.13} \end{equation}\]

De acordo com os dados da tabela 3.1 e a fórmula (3.13), o índice de preços de Paasche para os três produtos em 2004, tomando 2002 como ano-base é

\[\begin{equation} I_P^*(\mathbf{p_4}| \mathbf{p_2}) = \frac{24\cdot 5 + 30\cdot 7 + 45\cdot 6}{15\cdot 5 + 10\cdot 7 + 25\cdot 6}\cdot 100 = \frac{600}{295}\cdot 100 = 203,4 \end{equation}\] Os valores dos índices de preços de Paasche para os demais anos podem ser calculados na mesma forma e são apresentados na tabela 3.6.

TABELA 3.6: Índice de Paasche dos três produtos no período 2001-2005 tomando como base o ano de 2002
ano	$I_P^*(P_t\|P_0)$
2001	68,9
2002	100,0
2003	151,8
2004	203,4
2005	287,3

Exemplo numérico de índice de preços de Paasche no R

ippp1p2 <- sum(p161[1, ] * q161[1, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[1, ]) * 100
ippp2p2 <- sum(p161[2, ] * q161[2, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[2, ]) * 100
ippp3p2 <- sum(p161[3, ] * q161[3, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[3, ]) * 100
ippp4p2 <- sum(p161[4, ] * q161[4, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[4, ]) * 100
ippp5p2 <- sum(p161[5, ] * q161[5, ])/sum(p161[2, ] * 
    q161[5, ]) * 100

ipp161 <- round(rbind(ippp1p2, ippp2p2, ippp3p2, ippp4p2, 
    ippp5p2), 1)
colnames(ipp161) <- c("IPP")

ipp161

##           IPP
## ippp1p2  68,9
## ippp2p2 100,0
## ippp3p2 151,8
## ippp4p2 203,4
## ippp5p2 287,3

Interpretação econômica do índice de preços de Paasche

O índice de preços de Paasche é uma relação entre o custo de aquisição da da cesta de mercadorias $\mathbf{q_t}$ no período $t$ com o custo de aquisição dessa mesma cesta de mercadorias no período-base.

Comparando os índices de preços de Laspeyres e Paasche

O método de Paasche exige mais informações do que o método de Laspeyres no cálculo do índice ponderado de preços.

3.7 Índice de Preços de Fisher

Vimos que o método de Laspeyres e o método de Paasche entregam, em geral, resultados diferentes quando utilizados para avaliar a variação no nível dos preços de um conjunto de produtos.

Para tentar superar essa divergência de resultados, foram criados índices que conduzem a valores intermediários entre o índice de Laspeyres e o índice de Paasche.

O índice de preços de Fisher, é por definição, a média geométrica entre o índice de preços de Laspeyres e o índice de preços de Paasche.

Ou seja,

\[\begin{equation} I_F(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \sqrt{I_L(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) I_P(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0})}= \left( \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}Q_{i0}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}Q_{i0}} \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}Q_{it}}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}Q_{it}}\right)^{1/2} \tag{3.14} \end{equation}\]

ou, em porcentagem,

\[\begin{equation} I_F^*(\mathbf{p_t}|\mathbf{p_{o}}) = I_F(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) \cdot 100. \tag{3.15} \end{equation}\]

Exemplo numérico do Índice de preços de Fisher

Para calcular o índice de preços de Fischer de 2004, tomando como 2002 com ano-base, com base nos dados da tabela 3.1, basta tomar os valores dos índices de preços de Laspeyres e de Paasche nas tabelas 3.5 e 3.6 respectivamente.

Ou seja,

\[\begin{equation} I_F^*(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \sqrt{218,4 \cdot 203,4} = 210,8 \end{equation}\]

3.8 Índice de Preços de Marshall-Edgeworth

O índice de preços de Marshall-Edgeworth pode ser interpretado como uma relação entre o custo de aquisição no período $t$ e o custo de aquisição no período-base de uma cesta de mercadorias que contém, para cada produto, a média aritmética das quantidades vendidas no período -base e no período $t$.

\[\begin{equation} I_E(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}P_{it}(Q_{i0} + Q_{it})}{\sum_{i=1}^{n}P_{i0}(Q_{i0} + Q_{it})} \tag{3.16} \end{equation}\]

ou, em porcentagem.

\[\begin{equation} I_E^*(\mathbf{p_t}|\mathbf{p_{o}}) = I_E(\mathbf{p_t}| \mathbf{p_0}) \cdot 100. \tag{3.17} \end{equation}\]

Exemplo numérico do índice de preços de Marshall-Edgeworth

Para calcular o índice de preços de Marshall-Edgeworth de 2004, tomando 2002 como ano base, calcula-se utilizando a fórmula (3.17) usando os dados da tabela 3.1

\[\begin{equation} I_E^* (\mathbf{p_t}|\mathbf{p_{o}}) = \frac{24(4+5) + 30(9+7) + 45(4+6)}{15(4+5) + 10(9+7) + 25(4+6)} \cdot 100 = 210,3 \end{equation}\]

3.9 Deflacionamento

Considere dois valores monetários pagos ou recebidos em diferentes datas:

$x=$R$120,00 recebidos em setembro e 1997 e;
$y=$R$240,00 recebidos em setembro de 2003.

Aparentemetemente, não há a necessidade de modificar a unidade medida de nenhum dos dois valores, pois ambos estão em reais.

Mas devido à inflação ou desvalorização da moeda, o real de setembro de 2003 é uma unidade de medida de valor de troca bastante diferente do real de setembro de 1997.

Por isso, antes de fazer qualquer comparação ou operação aritmética envolvendo os valores de $x$ d $y$ é necessário fazer uniformizar a unidade de medida.

Isso se faz através de um índice de preços que possa ser utilizado como uma medidada desvalorização da moeda. Essa é uma das principais aplicações dos números-índices em uma economia inflacionária.

O índice de preços utilizados como medida da inflação ou desvalorização da moeda é denominada deflator.

Os valores de $x$ e $y$ medidos em reais da data em que o pagamento é efetuado são denominados valores nominais ou valores em moeda corrente. Caso se trate de preços de um produto, são denominados preços correntes.

Então, antes de fazer qualquer comparação ou operação aritmética envolvendo os valores em moeda corrente, é necessário calcular os valores reais ou valores deflacionados utilizando um deflator.

Através da um regra de três simples,

\[\begin{equation} \frac{V_r}{V_t} = \frac{I_k}{I_t} \end{equation}\]

temos

\[\begin{equation} V_r = \frac{I_k}{I_t}V_t. \tag{3.18} \end{equation}\]

Se, por exemplo, a inflação entre o período $k$ e o período $t$ tivesse sido de 100%,

\[\begin{equation} I_t = 2I_k \end{equation}\]

então

\[\begin{equation} V_r = \frac{V_t}{2}. \end{equation}\]

Ou seja, o valor real, medido em moeda do ano $k$, seria igual à metade do valor em moeda corrente.

Geralmente, quando se calculam valores reais, a finalidade é apenas uniformizar a unidade de medida.

Então, por facilidade de cálculo, são obtidos os valores reais medidos em moeda do período-base do deflator, isto é, em lugar de $I_k$, considera-se $I_0 = 100$. Nesse caso, a expressão (3.18) fica

\[\begin{equation} V_r = \frac{V_t}{I_t}100. \tag{3.19} \end{equation}\]

Como exemplos de índices comumente usados em trabalhos de pesquisa em economia se tem:

o Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna (IGP-DI) é usado como deflator para preços de produtos e serviços.
o índice de custo de vida é o mais adequado para deflacionar salários.

Exemplo para o cálculo de valores reais

Considere $x=$R$ 120,00 o valor corrente do salário mínimo vigente em setembro de 1997 e $y=$R$ 240,00 o valor corrente do salário mínimo vigente em setembro de 2003.

Um deflator apropriado, nesse caso, é o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Restrito (INPC) calculado pelo IBGE para medir o custo de vida das famílias cujos chefes são assalariados em sua ocupação principal e cujo rendimento monetário disponível situe-se entre 1 e 5 salários mínimos.

Com base em dezembro de 1993, o INPC é igual a R$ 1.415,18 em setembro de 1997 e igual a R$ 2.288,16 em setembro de 2003

Então, de acordo com (3.18), o valor deflacionado de $y$ em reais de setembro de 1997 é

\[\begin{equation} V_{1997} = \frac{I_{1997}}{I_{2003}} \times V_{2003}, \end{equation}\]

ou seja,

\[\begin{equation} V_{1997} = \frac{1.415,18}{2.288,16} \times 240 = 148,44 \end{equation}\]

Alternativamente pode-se calcular o valor real de $x$ em moeda de setembro de 2003,

\[\begin{equation} V_{2003} = \frac{I_{2003}}{I_{1997}} \times V_{1997}, \end{equation}\]

ou seja,

\[\begin{equation} V_{2003} = \frac{2.228,16}{1.415,18} \times 120 = 194,02. \end{equation}\]

Referências

Hoffmann, Rodolfo. 2006. Estatística para Economistas. 4th ed. São Paulo: Cengage Learning.

Sartoris, Alexandre. 2013. Estatística e Introdução à Econometria. 2nd ed. São Paulo: Saraiva.

TABELA 3.1: dados hipotético de preços e quantidades para três produtos no período de 2001 a 2005
ano	\(P_{1t}\)	\(Q_{1t}\)	\(P_{2t}\)	\(Q_{2t}\)	\(P_{3t}\)	\(Q_{3t}\)
2001	12	3	5	7	20	3
2002	15	4	10	9	25	4
2003	18	5	20	8	35	5
2004	24	5	30	7	45	6
2005	30	6	60	6	50	5