CAPÍTULO 4 Variável Aleatória Discreta

A associação de cada um dos valores de uma variável a uma probabilidade correspondente de ocorrer corresponde a uma distribuição de probabilidade.

Essa distribuição de probabilidade pode ser de uma variável aleatória discreta ou de uma variável aleatória contínua. No capítulo 03 do Sartoris (2013) apresenta-se a distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas.

4.1 Esperança matemática

Quando se calcula uma média do que pode acontecer com a variável, baseada em sua distribuição de probabilidade, está obtendo-se um valor médio esperado. Ou seja, a esperança matemática, ou, simplesmente, esperança.

A esperança de uma variável aleatória discreta \(X\), denotada \(E(X)\), é definida como

\[ E(X) = X_1P(X_1) + X_2P(X_2) + \ldots + X_nP(X_n) = \sum_{i=1}^{n}X_iP(X_i) \]

A probabilidade aqui tem o mesmo papel da frequência relativa.

Note que,

• quando se fala em frequência relativa, usualmente refere-se a uma quantidade obtida.
• quando se fala em probabilidade, nos remete a ideia de proporções em que a variável pode assumir determinado valor.

4.1.1 Função de Probabilidade

\(P(X)\) é a função que associa o valor de \(X\) à sua probabilidade, que é chamada de função de probabilidade. É representada como \(f(X)\). Desta forma pode-se escrever:

\[ E(X) = \sum_ {i=1}^{n}X_i f(X_i)~~para~i=1,\ldots,n. \]

4.1.2 Função distribuição acumulada

A função que fornece a probabilidade acumulada dado o valor de \(X\) é a função distribuição acumulada ou, simplesmente, função distribuição, representada por \(F(X)\).

\[ F(X_k) = \sum_{i=1}^{k} f(X_i)~~para~i=1, \ldots,n \]

Exemplo numérico sobre Função de Probabilidade (Sartoris, 2013, pg.55)

Este exemplo numérico bem básico é sobre probabilidade que está na página 55 de Sartoris (2013). Num sorteio de números inteiros de 1 a 5, a probabilidade de um número ser sorteado é proporcional a esse número. Qual é a probabilidade de cada número ser sorteado?

Resposta: Se considerarmos que a \(P(1)\) é igual a \(1A\), onde \(A\) é uma constante desconhecida, temos:

\(P(1)=A\)

\(P(2)=2A\)

\(P(3)=3A\)

\(P(4)=4A\)

\(P(5)=5A\).

Sendo os eventos mutuamente exclusivos,a soma de todas as probabilidades tem de ser igual a 1. Portanto,

\(P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1\)

\(A + 2A + 3A + 4A + 5A = 1\)

\(15A = 1\)

\(A = \dfrac{1}{15}\).

4.1.3 Esperanças, Variâncias e Covariâncias

Note que

\[\begin{align} E[aX + b] &= aE(X) + b \\ E[X + Y] &= E(X) + E(Y) \\ Var(X) &= E[X - E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 \\ Cov(X,Y) &= E[X - E(X)][Y - E(Y)] = E(XY) - E(X)E(Y) \end{align}\]

Exemplo Numérico sobre Esperança e Variância (Sartoris, 2013, p.56)

Este exemplo numérico é o 3.1.2 do Sartoris (2013) que está na página 56. Uma ação comprada por R$10,00 pode assumir, após 30 dias, os seguintes valores: R$5,00 com 20% de probabilidade; R$10,00 com 30% de probabilidade; R$16,00 com 25% de probabilidade ou R$20,00 com 25% de probabilidade. Determine o valor esperado da ação e sua variância.

Resposta: O valor esperado da ação é

\[\begin{align} E(X) &= 5 \times 0,2 + 10 \times 0,3 + 16 \times 0,25 + 20 \times 0,25 \\ E(X) &= 1 + 3 + 4 + 5 = 13 \end{align}\]

omo o preço da ação foi de R$ 10,00, o lucro médio esperado dessa ação é de R$3,00.

Para calcular a variância pela forma alternativa, é necessário calcular somente \(E(X^2)\) uma vez que \(E(X)\) já foi calculado.

\[\begin{align} E(X^2) &= (5)^2 \times 0,2 + (10)^2 \times 0,3 + (16)^2 \times 0,25 + (20)^2 \times 0,25 \\ E(X^2) &= 25 \times 0,2 + 100 \times 0,3 + 256 \times 0,25 + 400 \times 0,25 \\ E(X^2) &= 5 + 30 + 64 + 100 \\ E(X^2) &= 199. \end{align}\]

Assim,

\[\begin{align} Var(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2\\ Var(X) &= 199 - 13^2 \\ Var(X) &= 30. \end{align}\]

Note que, ao medir a dispersão dos possíveis valores da ação, a variância é uma medida do risco da ação.

4.2 Variável Aleatória Discreta

Quando os valores da variável são específicas, ou seja, não pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais.

4.3 Distribuição Uniforme

Na distribuição uniforme todos os elementos têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Exemplo: obter um número de 1 a 6, lançando um dado não viciado. A probabilidade de obter qualquer um dos seis números é de \(1/6\).

Exemplo numérico sobre Distribuição Uniforme (Sartoris, 2013, p.57)

Este exemplo numérico sobre distribuição uniforme está na página 57 de Sartoris (2013).

Joga-se um dado uma única vez. Qual o valor esperado do número obtido? E sua variância?

Resposta: O valor esperado é

\[\begin{align} E(X) &= 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3\times \dfrac{1}{6} + 4\times \dfrac{1}{6} + 5\times \dfrac{1}{6} + 6\times \dfrac{1}{6}\\ E(X) &= 3,5. \end{align}\]

Para calcular a variância pela forma alternativa é necessário \(E(X^2)\).

\[\begin{align} E(X^2) &= (1)^2\dfrac{1}{6} + (2)^2\dfrac{1}{6} + (3)^2\dfrac{1}{6} + (4)^2\dfrac{1}{6} + (5)^2\dfrac{1}{6} + (6)^2\dfrac{1}{6} \\ E(X^2) &= 1\dfrac{1}{6} + 4\dfrac{1}{6} + 9\dfrac{1}{6} + 16\dfrac{1}{6} + 25\dfrac{1}{6} + 36\dfrac{1}{6} \\ E(X^2) &=\dfrac{91}{6}. \end{align}\]

Desta forma a variância é

\[\begin{align} Var(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2\\ Var(X) &= \dfrac{91}{6} - \left( \dfrac{21}{6} \right)^2\\ Var(X) &= \dfrac{105}{36}\\ Var(X) &\cong 2,92 \end{align}\]

4.4 Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli caracteriza-se pela existência de apenas dois eventos, mutuamente exclusivos, denominados sucesso e fracasso, num experimento que é realizado uma única vez.

Se a probabilidade de sucesso é \(p\), a probabilidade de fracasso é \((1-p)\), uma vez que só existem esses dois eventos e eles são mutuamente exclusivos.

Exemplos de distribuição de Bernoulli

• lançamento de uma moeda uma única vez. Se o resultado cara é o sucesso, associado a uma probabilidade \(p=1/2\), então o resultado coroa é o fracasso associado a uma probabilidade \((1-p)=1/2\).

• lançamento de um dado uma única vez. Se o número escolhido é três, então o resultado 3 é o sucesso, associado a uma probabilidade \(p=1/6\) e qualquer um dos outros cinco números é o fracasso, associado aum probabilidade \((1-p) = 5/6\).

Exemplo numérico sobre distribuição de Bernoulli (Sartoris, 2013, p.58)

Este exemplo numérico sobre distribuição de Bernoulli está na página 58 de Sartoris (2013).

No caso da cara ou coroa, atribuindo o valor 1 para o sucesso e 0 para o fracasso, dtermine a média e a variância do resultado após uma jogada.

Resposta: A média é

\[\begin{align} E(X) &= 1 \times \dfrac{1}{2} + 0 \times \dfrac{1}{2}\\ E(X) &= \dfrac{1}{2}\\ E(X) &=0,5 \end{align}\]

E a variância

\[\begin{align} E(X^2) &= 1^2 \times \dfrac{1}{2} + 0^2 \times \dfrac{1}{2}\\ E(X^2) &= \dfrac{1}{2}\\ E(X^2) &= 0,5 \end{align}\]

\[\begin{align} Var &= E(X^2) - [E(X)]^2\\ Var &= 0,5 - (0,5)^2\\ Var &= 0,25. \end{align}\]

Outro exemplo numérico sobre distribuição de Bernoulli (Sartoris, 2013, p.59)

No caso do dado, em que se aposta em um único número, atribuindo o valor 1 para o sucesso e 0 para o fracasso, determine a média e a variância do resultado após uma jogada.

Resposta: A média é

\[\begin{align} E(X) &= 1 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{5}{6}\\ E(X) &= \dfrac{1}{6} \end{align}\]

E a variância

\[\begin{align} E(X^2) &= 1^2 \times \dfrac{1}{6} + 0^2 \times \dfrac{5}{6}\\ E(X^2) &= \dfrac{1}{6} \end{align}\]

\[\begin{align} Var &= E(X^2) - [E(X)]^2\\ Var &= \dfrac{1}{6} - \left(\dfrac{1}{6}\right)^2\\ Var &= \dfrac{5}{36} \end{align}\]

Média e Variância da Distribuição de Bernoulli

Pelos exemplos numéricos apresentado, verifica-se que numa distribuição de Bernoulli:

\[\begin{align} E(X) &= p \\ Var(X) &= p(1-p) \end{align}\]

4.5 Distribuição Binomial

A distribuição Binomial é a generalização da distribuição de Bernoulli. Ou seja, há um sucesso com probabilidade \(p\) e um fracasso com probabilidade \((1-p)\). Mas o número de experimentos ou jogadas pode ser qualquer um.

Retomemos o exemplo da cara ou coroa, mas agora com três jogadas ou experimentos.

Associa-se cara a uma letra \(C\) e uma coroa a uma letra \(K\) para facilitar a visualização.

jogada 1	jogada 2	jogada 3
C	C	C
C	C	K
C	K	C
C	K	K
K	C	C
K	C	K
K	K	C
K	K	K

Na primeira jogada só há dois resultados possíveis: cara ou coroa. Portanto

\[\begin{align*} P(C) &= p = 1/2 \\ P(K) &= (1-p) = 1/2 \end{align*}\]

Na segunda jogada há quatro combinações para três resultados possíveis que são (cara, cara); (cara, coroa) e (coroa, coroa. Portanto

\[\begin{align*} P(C,C) &= pp = 1/4 \\ P(C,K) + P(K,C) &= p(1-p) + (1-p)p = 2p(1-p) = 2/4\\ P(K,K) &= (1-p)(1-p) = 1/4 \end{align*}\]

Na terceira jogada há oito combinações para quatro resultados possíveis que são (cara, cara,cara); (cara,cara,coroa); (cara,coroa, coroa) e (coroa, coroa, coroa). Portanto

\[\begin{align*} P(C,C,C) &= 1/8 \\ P(C,C,K) + P(C,K,C) + P(K,C,C) &= 3/8\\ P(K,K,C) + P(K,C,K) + P(C,K,K) &= 3/8\\ P(K,K,K) &= 1/8 \end{align*}\]

Ou em detalhes:

\[\begin{equation*} P(3\text{ caras}) = ppp = 1/8 \end{equation*}\] \[\begin{equation*} P(2\text{ caras}, 1\text{ coroa}) = pp(1-p) + p(1-p)p + (1-p)pp = 3pp(1-p) = 3/8 \end{equation*}\] \[\begin{multline*} P(2\text{ coroas}, 1\text{ cara}) = (1-p)(1-p)p + (1-p)p(1-p) + p(1-p)(1-p)\\ = 3(1-p)(1-p)p = 3/8 \end{multline*}\] \[\begin{equation*} P(3\text{ coroas}) = (1-p)(1-p)(1-p) = 1/8 \end{equation*}\]

Ou seja,

\[\begin{align*} P( 3~\text{caras}) &= 1\times p \times p \times p\\ P(2\text{ caras}, 1\text{ coroa}) &= 3 \times p \times p \times (1-p)\\ P(2\text{ coroas}, 1\text{ cara}) &= 3 \times (1-p) \times (1-p) \times p\\ P( 3~\text{coroas}) &= 1\times (1-p) \times (1-p) \times (1-p) \end{align*}\]

usando o binômio de newton,

\[\begin{equation*} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{equation*}\]

\[\begin{align*} P( 3~\text{caras}) &= \binom{3}{3} \times p \times p \times p\\ P(2\text{ caras}, 1\text{ coroa}) &= \binom{3}{2} \times p \times p \times (1-p)\\ P(2\text{ coroas}, 1\text{ cara}) &= \binom{3}{1} \times (1-p) \times (1-p) \times p\\ P( 3~\text{coroas}) &= \binom{3}{0} \times (1-p) \times (1-p) \times (1-p) \end{align*}\]

Generalizando, nos leva a função de probabilidade,

\[\begin{equation*} P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k} \end{equation*}\] onde

• \(k\) é o número de sucessos;
• \(n\) é o número de jogadas ou experimentos;
• \(p\) é a probabilidade de sucesso;
• \((1-p)\) é a probabilidade de fracasso.

O primeiro exemplo numérico de distribuição binomial

O primeiro exemplo numérico de distribuição binomial é o exemplo numérico 3.2.3.1 da página 62 do Sartoris (2013). Suponha um jogo de dados em que aposta em um único número. Determine as seguintes probabilidades:

• em três jogadas, ganhar duas.

\[\begin{align*} P(X=2) &= \binom{3}{2} \times \left(\frac{1}{6}\right)^2\times \left(\frac{5}{6}\right)^{(3-2)}\\ P(X=2) &= \frac{3!}{2!(3-2)!}\times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6}\\ P(X=2) &= 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6}\\ P(X=2) &= \frac{15}{216} = 0,0694 \end{align*}\]

• em quatro jogadas, ganhar duas.

\[\begin{align*} P(X=2) &= \binom{4}{2} \times \left(\frac{1}{6}\right)^2\times \left(\frac{5}{6}\right)^{(4-2)}\\ P(X=2) &= \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36}\\ P(X=2) &= 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36}\\ P(X=2) &= \frac{150}{1.296} = 0,1157 \end{align*}\]

• Em cinco jogadas, ganhar três.

\[\begin{align*} P(X=3) &= \binom{5}{3} \times \left(\frac{1}{6}\right)^3\times \left(\frac{5}{6}\right)^{(5-3)}\\ P(X=3) &= \frac{5!}{3!(5-3)!}\times \frac{1}{216} \times \frac{25}{36}\\ P(X=3) &= 10 \times \frac{1}{216} \times \frac{25}{36}\\ P(X=3) &= \frac{250}{7.776} = 0,0321 \end{align*}\]

Um segundo exemplo numérico de distribuição binomial

O segundo exemplo numérico sobre distribuição binomial é da página 63 de Sartoris (2013). Calcule a média e a variância no jogo de cara ou coroa, atribuindo valor um para cara e zero para coroa.

Considerando uma ,duas e três jogadas.

• Para uma jogada, que é o caso particular da distribuição de Bernoulli.

\[\begin{equation*} E(X) = p = \frac{1}{2} \end{equation*}\] \[\begin{equation*} var(X) = p(1-p) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \end{equation*}\]

• Para duas jogadas: CC; CK; KC; KK. Ou seja,

\[\begin{equation*} E(X) = 2 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{2}{4} + 0 \times \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} E(X^2) = 2^2\times \frac{1}{4} + 1^2 \times \frac{2}{4} + 0^2\times \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} var(X) = 1,5 - [1]^2 = 0,5 \end{equation*}\]

• Para três jogadas:CCC; CCK; CKC; KCC; CKK; KCK; KKC; KKK. Ou seja, \[\begin{equation*} E(X) = 3 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = 1,5 \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} E(X^2) = 3^2\times \frac{1}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 0^2\times \frac{1}{8} = \frac{24}{8} = 3 \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} var(X) = 3 - [1,5]^2 = 0,75 \end{equation*}\]

4.5.1 Média e Variância da distribuição binomial

Com base nos resultados do exemplo numérico anterior tem-se:

A média da distribuição binomial

\[\begin{equation*} E(X) = np \end{equation*}\]

A variância da distribuição binomial

\[\begin{equation*} var(X) = np(1-p) \end{equation*}\]

4.5.2 Distribuição Binomial usando o R

Considerando que:

x é um vetor de números;

p é um vetor de probabilidades;

n é o número de observações;

tamanho é o número de experimentos ou tentativas e;

prob é a probabilidade de sucesso de cada experimento ou tentativa.

Seguem-se quatro funções no R para a distribuição binomial.

dbinom(x, tamanho, prob):

esta função entrega a distribuição densidade de probabilidade a cada ponto.

pbinom(x, tamanho, prob):

esta função entrega a probabilidade cumulativa de um evento. Ou seja, é um único valor representando probabilidade.

qbinom(p, tamanho, prob):

esta função toma o valor da probabilidade e entrega um número cujo valor cumulativo coincide com o valor da probabilidade.

rbinom(n, tamanho, prob):

esta função gera o número requerido de valores aleatórios de uma dada probabilidade.

Exemplo numérico de distribuição binomial resolvido usando o R

O primeiro exemplo numérico 3.2.3.1 da página 62 de Sartoris (2013) resolvido anteriormente é agora resolvido usando-se o R. Suponha um jogo de dados em que aposta em um único número. Determine as seguintes probabilidades:

• em três jogadas, ganhar duas.

library(MASS)

p1 <- dbinom(2, 3, 1/6)
p1

## [1] 0,06944444

p1frac <- fractions(p1)
p1frac

## [1] 5/72

• em quatro jogadas, ganhar duas.

library(MASS)
p2 <- dbinom(2, 4, 1/6)
p2

## [1] 0,1157407

p2frac <- fractions(p2)
p2frac

## [1] 25/216

• Em cinco jogadas, ganhar três.

library(MASS)

p3 <- dbinom(3, 5, 1/6)
p3

## [1] 0,03215021

p3frac <- fractions(p3)
p3frac

## [1] 125/3888

O segundo exemplo numérico de distribuição binomial usando R

O segundo exemplo numérico resolvido é o exemplo 3.2.3.2 da página 63 de Sartoris (2013) é agora resolvido usando-se o R. Calcule a média e a variância no jogo de cara ou coroa, atribuindo valor um para cara e zero para coroa. Considerando uma ,duas e três jogadas.

• Para uma jogada, que é o caso particular da distribuição de Bernoulli.

media1 <- 1 * 0.5
media1

## [1] 0,5

var1 <- 1 * 0.5 * (1 - 0.5)
var1

## [1] 0,25

• Para duas jogadas: CC; CK; KC; KK.

media2 <- 2 * 0.5
media2

## [1] 1

var2 <- 2 * 0.5 * (1 - 0.5)
var2

## [1] 0,5

• Para três jogadas: CCC; CCK; CKC; KCC; CKK; KCK; KKC; KKK.

media3 <- 3 * 0.5
media3

## [1] 1,5

var3 <- 3 * 0.5 * (1 - 0.5)
var3

## [1] 0,75

4.6 Distribuição de Poisson

• Morte por patada de cavalo, mesmo para a época em que o principal meio de transporte era a cavalo, era um acontecimento pouco usual.
• Celular do professor tocar durante a aula de Estatística Econômica poderia ser um exemplo de evento muito difícil de ocorrer.
• Para estas situações a probabilidade associada ao sucesso \(p\) é muito pequena, mesmo considerando muitos meses ou muitas aulas. Ou seja, \(n\) ser muito grande.
• Por isso, pode se pensar que \(p\) tende a zero enquanto que \(n\) tende ao \(\infty\).

4.6.1 Média e a Variância da Distribuição de Poisson

Partindo da distribuição binomial e como \(p\rightarrow 0\) e \(n\rightarrow\infty\) então \[\begin{equation*} E(X) = np = \lambda. \end{equation*}\] Ou seja, \(np\) é igual a um número finito \(\lambda\) que significa o número médio de vezes que o evento ocorre.

Para a variância tem-se que

\[\begin{equation*} var(X) = \underbrace{np}_{\lambda}\underbrace{(1 - p)}_{1} = \lambda. \end{equation*}\] Ou seja, a média e a variância da distribuição de Poisson são iguais a \(\lambda\).

4.6.2 A função de probabilidade da distribuição de Poisson

A função de probabilidade para a distribuição de Poisson pode ser obtida a partir da função de probabilidade da distribuição binomial fazendo \(p\rightarrow 0\) e \(n\rightarrow \infty\).

\[\begin{equation*} P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!} \end{equation*}\]

A derivação matemática está no apêndice do capítulo 3 do Sartoris (2013).

Primeiro exemplo numérico de distribuição de Poisson

Exemplo 3.2.6.1 da página 67 de Sartoris (2013). Suponha que, em média, o telefone toque quatro vezes ao dia em uma casa. Qual a probabilidade de que, em certo dia, ele toque, no máximo, duas vezes?

Trata-se de um problema sobre distribuição de Poisson cujo parâmetro é \(\lambda= 4\). Note que pede-se a probabilidade de tocar duas vezes: \(P(0) + P(1) + P(2)\).

\[\begin{align*} P(X=0) &=\frac{e^{-4}4^{0}}{0!} = 1e^{-4}\\ P(X=1) &=\frac{e^{-4}4^{1}}{1!} = 4e^{-4}\\ P(X=2) &=\frac{e^{-4}4^{2}}{2!} = 8e^{-4} \end{align*}\] Portanto:

\[\begin{equation*} P(X\leq 2) = 13e^{-4}\cong 0,2381 = 23,81\% \end{equation*}\]

Segundo exemplo numérico de distribuição de Poisson

Exemplo 3.2.6.2 da página 67 de Sartoris (2013). Um candidato tem apenas 2% das intenções de voto. Qual a probabilidade de que, em 100 eleitores escolhidos ao acaso, encontrem-se cinco que desejem votar nesse candidato?

Usando a binomial pura e simplesmente

\[\begin{equation*} P(X=5) = \frac{100!}{5!(100-5)!}\times 0,02^5 \times 0,98^{95} \cong 0,0353 = 3,53\% \end{equation*}\]

Note que o exercício pode ser resolvido usando a distribuição de Poisson como aproximação, tendo como parâmetro \(\lambda = np = 100\times0,02 = 2\).

\[\begin{equation*} P(X=5) = \frac{e^{-2}2^{5}}{5!} \cong 0,0361 = 3,61\% \end{equation*}\]

4.6.3 Distribuição de Poisson usando o R

Considerando que:

x é um vetor de números;

q é um vetor de quantiles;

p é um vetor de probabilidades;

n é o número de observações;

lambda é o vetor de médias não negativas;

Seguem-se quatro funções no R para a distribuição de Poisson.

dpois(x, lambda) :

esta função entrega a distribuição densidade de probabilidade a cada ponto.

ppois(q, lambda):

esta função entrega a probabilidade cumulativa de um evento. Ou seja, é um único valor representando probabilidade.

qpois(p, lambda):

esta função toma o valor da probabilidade e entrega um número cujo valor cumulativo coincide com o valor da probabilidade.

rpois(n, lambda):

esta função gera o número de requerido de valores aleatórios de uma dada probabilidade a partir de uma dada amostra.

O primeiro exemplo numérico de distribuição de Poisson resolvido usando R

Exemplo 3.2.6.1 da página 67 de Sartoris (2013). Suponha que, em média, o telefone toque quatro vezes ao dia em uma casa. Qual a probabilidade de que, em certo dia, ele toque, no máximo, duas vezes?

p4 <- round(ppois(2, 4), 4)
p4

## [1] 0,2381

O segundo exemplo numérico de distribuição de Poisson resolvido usando R

Exemplo 3.2.6.2 da página 67 de Sartoris (2013). Um candidato tem apenas 2% das intenções de voto. Qual a probabilidade de que, em 100 eleitores escolhidos ao acaso, encontrem-se cinco que desejem votar nesse candidato?

Usando distribuição binomial:

p5 <- round(dbinom(5, 100, 0.02), 4)
p5

## [1] 0,0353

Usando a distribuição de Poisson como aproximação e sabendo que \(\lambda = np = 100\times 0,02 = 2\)

p6 <- round(dpois(5, 2), 4)
p6

## [1] 0,0361

Referências

Sartoris, Alexandre. 2013. Estatística e Introdução à Econometria. 2nd ed. São Paulo: Saraiva.